代理符号搜索：超越手工表达、网格和神经网络来表征偏微分方程

数学家通过数学结构而不是计算值表来理解 PDE 解。从历史上看，这是数学分析的产物，针对每个问题单独进行手工分析。数值模拟和神经网络都不能直接产生这些结构。我们提出了代理符号搜索（ASYS），这是一个先验引导的框架，其中代理将偏微分方程理论、公共问题约束和积累的搜索经验转化为可测试的可微符号程序。数学形式在进化搜索下得到细化，而它们的连续参数则通过基于梯度的优化来拟合。这使得搜索成为归纳偏差注入的自动化形式，而不是盲目的符号回归。对于已知分析形式的问题，ASYS 自然地恢复这些形式；对于其他问题，ASYS 构建解析近似，可以指导数学家进一步分析。在我们的实验中，跨越有界动力学、有限时间爆炸和自由边界聚焦的五个问题，ASYS 在以前没有可用的闭合形式描述的情况下生成了可解释的表示，包括 Allen-Cahn 二维动力学的几何界面公式和 Keller-Segel 趋化爆炸的九参数收缩定律。 ASYS 展示了一种表征 PDE 解决方案的新范式的可能性，超越手工分析解决方案、基于网格的数值解决方案和神经网络近似。