弧线上的提示：Fisher-Rao 坐标中的高斯课程，用于高效rollout GRPO

组相对策略优化（GRPO）仅从采样响应不一致的提示中学习：完全正确或完全错误的组的奖励方差为零，不贡献梯度，并且仍然消耗其rollout。提示选择方法通过将采样转向中间通过率来减少这种浪费，但它们会在原始通过率或 logit 坐标中启发式地选择目标、其宽度和不确定性模型。我们证明 GRPO 带有一个通过率的自然坐标：伯努利 Fisher-Rao 流形上的弧长 $ψ=\arcsin\sqrt{p}$。在弧长方面，预期的 GRPO 更新在两个边界斜坡内是一致的；零方差群的概率由宽度为 $1/\sqrt{2G}$ 的两个高斯边界层界定；通过率证据存在持续的噪音； pass@$k$ 和 pass$^k$ 目标的梯度是高斯分布，其中心和宽度以封闭形式遵循 $k$。因此，GRPO 的即时课程是弧长的高斯曲线，选择其中心就等于选择目标。我们将这一观察结果转化为 ARCUS，这是一个嵌入式采样器，它使用弧长的卡尔曼滤波器跟踪每个提示，通过目标匹配的高斯核乘以信息组的预测概率对提示进行评分，仅保留未更改的 GRPO 更新的信息组，并将目标调整到最难的目标，其预测产量与最佳目标保持在一小段差距之内。在六个数学推理基准和三个骨干网中，ARCUS 将 GRPO 的平均准确度提高了 2.8--2.9 个点，将动态采样的平均准确度提高了 1.1--1.2 个点，同时生成的 rollouts 比动态采样少了 48--57%。